استاندارد ASTM A961/A961M - نسخه 2008

اختصاصی از نیک فایل استاندارد ASTM A961/A961M - نسخه 2008 دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

شما می توانید استاندارد های مورد نیاز خود را  از طریق [e-mail] به ما اعلام کنید

تا در اسرع وقت در فروشگاه ثبت و به شما اطلاع رسانی گردد... 

 استاندارد   ASTM A961/A961M

الزامات ساخت فلنج ها، اتصالات، شیرآلات و اجزای PIPING از جنس فولاد

نسخه 2008

Standard Specification for
Common Requirements for Steel Flanges, Forged Fittings,
Valves, and Parts for Piping Applications

فایل این استاندارد قابلیت جستجو در متن را داراست.

Scope:

This specification covers a group of common requirements that shall apply to steel flanges, forged fittings, valves, and parts for piping applications under any of the following
individual product specifications:
Title of Specification ASTM Designation
Forgings, Carbon Steel, for Piping Components A105/A105M
Forgings, Carbon Steel, for General-Purpose Piping A181/A181M
Forged or Rolled Alloy-Steel Pipe Flanges, Forged A182/A182M
Fittings, and Valves and Parts for High Temperature Service Forgings, Carbon and Low Alloy Steel, Requiring Notch A350/A350M
Toughness Testing for Piping Components Forged or Rolled 8 and 9 % Nickel Alloy A522/A522M
Steel Flanges, Fittings, Valves, and Parts for Low-Temperature Service Forgings, Carbon and Alloy Steel, for Pipe Flanges, A694/A694M
Fittings, Valves, and Parts for High-Pressure Transmission Service Flanges, Forged, Carbon and Alloy Steel for Low A707/A707M
Temperature Service Forgings, Carbon Steel, for Piping Components with A727/A727M
Inherent Notch Toughness Forgings, Titanium-Stabilized Carbon Steel, for
Glass-Lined Piping and Pressure Vessel Service.   A836/A836M

طرح لایه باز ماهی فروشی و مرغ فروشی

اختصاصی از نیک فایل طرح لایه باز ماهی فروشی و مرغ فروشی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

طرح لایه باز ماهی فروشی و مرغ فروشی

وینمپ اندروید winamp

اختصاصی از نیک فایل وینمپ اندروید winamp دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

وینمپ اندروید winamp

تحقیق در مورد هزینه یابی کیفیت

اختصاصی از نیک فایل تحقیق در مورد هزینه یابی کیفیت دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه14

فهرست مطالب

  هزینه یابی کیفیت 2- طبقه‏بندی

الف : هزینه‏های شکست درونی (درون سازمانی)

2ـ هزینه‏های تعمیر و دوباره‏کاری محصولات تولیدی

ب - هزینه‏های شکست برونی (برون سازمانی)

2ـ هزینه‏های برگشت محصول توسط مشتری و شکایات

3ـ هزینه‏های اصلاح محصولات دردست مشتریان:

ج - هزینه‏های ارزیابی

5ـ هزینه‏های ایجاد و ممیزی سیستمهای کیفیت :

6ـ هزینه‏های کنترل تجهیزات بازرسی و اندازه‏گیری:

7ـ  بررسی کیفیت موجودی انبارها : در صورتی که

امروزه قیمت و کیفیت از مهمترین مزیت‏های رقابتی در صنایع به شمار می‏آیند. از این رو بررسی رابطه بین این دو مزیت رقابتی در سال‏های اخیر به ویژه در صنایع پیشرو و کشورهای صنعتی بسیار مورد بحث بوده است. این که بدی کیفیت چه تاثیری بر قیمت محصولات و متعاقباً درآمد شرکت خواهد داشت و نیز برای رسیدن به کیفیت مطلوب باید چقدرهزینه کنیم، بحث هزینه‏یابی کیفیت را جایگاهی ویژه بخشیده است.

هزینه‏یابی کیفیت از مباحث جدید مدیریتی است که می‏تواند وضعیت و عملکرد شرکت را از ابعاد مختلف مانند حسابداری بهای تمام شده (حسابداری صنعتی)، کنترل کیفیت، تعمیرات و نگهداری، زنجیره تامین، مدیریت تولید، انبارها،  ایمنی و بهداشت، آموزش و بهسازی و موارد دیگر نشان دهد و با تهیه ترازنامه کیفیت در شرکت و مقایسه روند هزینه‏های کیفیت می‏توان هزینه کیفیت در شرکت را کنترل و بهبود بخشید.

تاکید و کار بر روی مفاهیم هزینه‏یابی کیفیت در طول زمان، نکات مهم و ارزشمندی  را  مشخص کرده است که از اهمیت بالایی برخوردارند. برخی از این نکات عبارتند از:

• هزینه‏های کیفیت در گزارش‏های حسابداری به طور کامل ثبت نمی‏شوند و اغلب هزینه‏های واقعی کیفیت بسیار بیشتر از موارد گزارش شده هستند.
• هزینه‏های کیفیت نباید تنها در مورد فعالیت‏های عملیاتی و تولیدی درنظر گرفته شوند بلکه فعالیت‏های خدماتی و پشتیبانی نیز تاثیر عمده‏ای در افزایش یا کاهش هزینه‏های کیفیت دارند، بنابراین باید هزینه‏های مربوط نیز در هزینه‏های کیفیت مورد سنجش و ارزیابی قرار گیرند.
• کاهش هزینه‏های کیفیت در چارچوب برنامه‏های استراتژیک سازمان‏ها قرار دارد.

1- هزینه‏های کیفیت کدامند؟

سه دیدگاه اصلی در مورد تعریف هزینه‏های کیفیت وجود دارد که عبارتند از:

• هزینه‏های رسیدن به کیفیت مطلوب از طریق طراحی و سازماندهی
• هزینه‏های عملیاتی واحد کنترل کیفیت (تجهیزات، حقوق و دستمزد و…)
• هزینه‏هایی که از کیفیت پایین و نامطلوب محصول ناشی می‏شود (شامل ضایعات، افت قیمت محصول و...).

در این پژوهش، هزینه کیفیت برابر با مجموع هزینه‏های سه گروه پیشگفته در نظر گرفته شده و تلاش بر این است سیستم هزینه‏ای جامعی طراحی شود که تمامی دیدگاه‏های هزینه‏ای یادشده را در برگیرد.

       گام برداشتن در جهت بهبود کیفیت، به تعریف پروژه‏های بهبود کیفی و همزمان با آن توسعه سیستم حسابداری نیاز دارد؛ به طوری که بتوان اطلاعات مورد نیاز به منظور بررسی عملکرد پروژه‏های بهبود کیفیت را به دست آورد. بنابراین یک گام اساسی در کاهش هزینه‏ها، اصلاح و توسعه  سیستم حسابداری است؛ به گونه ای که بتوان هزینه‏های کیفیت را محاسبه کرد و ضمن ارائه گزارش‏های مناسب، به اندازه‏گیری اثربخشی فعالیت‏ها و پروژه‏های کاهش هزینه پرداخت و راهکارهای عملی برای کنترل و بهبود هزینه‏های کیفیت و به تبع آن، عملیات تضمین و کنترل کیفیت ارائه کرد.

به منظور اصلاح و توسعه سیستم حسابداری باید هزینه‏های کیفیت را طبقه‏بندی کرد و به هر یک از گروه‏های هزینه‏ای، کد هزینه تخصیــص داد.

به منظور اندازه‏گیری هزینه‏های کیفیت لازم است ابتدا اجزای هزینه‏های کیفیت شناسایی و طبقه‏بندی شده، سپس کلیه هزینه‏های مرتبط با کیفیت بر اساس آمار داده‏های هزینه‏ای موجود

Dynamic Response of Linear Mechanical Systems Modeling, Analysis and Simulation, 2011, Springer

اختصاصی از نیک فایل Dynamic Response of Linear Mechanical Systems Modeling, Analysis and Simulation, 2011, Springer دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

578 صفحه

Dynamic Response of Linear Mechanical Systems Modeling, Analysis and Simulation, 2011, Springer

مطالب

1 The Modeling of Single-dof Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 The Modeling Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 The Newton-Euler Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Constitutive Equations of Mechanical Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Springs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Dashpots .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Series and Parallel Arrays of Linear Springs . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4 Series and Parallel Arrays of Linear Dashpots . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Planar Motion Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Lagrange Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Energy Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.4 Potential Energy .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.5 Power Supplied to a System and Dissipation Function . . . . 29
1.6.6 The Seven Steps of the Modeling Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Hysteretic Damping .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.8 Coulomb Damping .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.9 Equilibrium States of Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.10 Linearization About Equilibrium States. Stability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.11 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Time Response of First- and Second-order Dynamical Systems . . . . . . . 85
2.1 Preamble .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2 The Zero-input Response of First-order LTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3 The Zero-input Response of Second-order LTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.1 Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.2 Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4 The Zero-State Response of LTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4.1 The Unit Impulse .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4.2 The Unit Doublet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4.3 The Unit Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.4.4 The Unit Ramp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4.5 The Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.4.6 The Convolution (Duhamel) Integral.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.5 Response to Abrupt and Impulsive Inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5.1 First-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.5.2 Second-order Undamped Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.5.3 Second-order Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.5.4 Superposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.6 The Total Time Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6.1 First-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6.2 Second-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.7 The Harmonic Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.7.1 The Unilateral Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.7.2 First-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.7.3 Second-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.7.4 The Response to Constant and Linear Inputs . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.7.5 The Power Dissipated By a Damped
Second-order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.7.6 The Bode Plots of First- and Second-order Systems . . . . . . . 161
2.7.7 Applications of the Harmonic Response .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.7.8 Further Applications of Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.7.9 Derivation of zb(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2.8 The Periodic Response. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.8.1 Background on Fourier Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.8.2 The Computation of the Fourier Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . 189
2.8.3 The Periodic Response of First- and
Second-order LTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
2.9 The Time Response of Systems with Coulomb Friction . . . . . . . . . . . . 207
2.10 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3 Simulation of Single-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.1 Preamble .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.2 The Zero-Order Hold (ZOH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.3 First-Order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.4 Second-Order Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3.4.1 Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3.4.2 Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Reference.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4 Modeling of Multi-dof Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.2 The Derivation of the Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.3 Equilibrium States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
4.4 Linearization of the Governing Equations
About Equilibrium States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.5 Lagrange Equations of Linear Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.6 Systems with Rigid Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
4.7 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5 Vibration Analysis of Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.2 The Natural Frequencies and the Natural Modes
of Two-dof Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.2.1 Algebraic Properties of the Normal Modes .. . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.3 The Zero-Input Response of Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.3.1 Semidefinite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
5.3.2 Systems with a Positive-Definite FrequencyMatrix. . . . . . . . 333
5.3.3 The Beat Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.4 The Classical Modal Method .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.5 The Zero-State Response of Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
5.5.1 Semidefinite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.5.2 Definite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.6 The Total Response of Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.6.1 The Classical Modal Method Applied to the
Total Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
5.7 Damped Two-dof Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.7.1 Total Response of Damped Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . 375
5.8 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Reference.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
6 Vibration Analysis of n-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6.2 The Natural Frequencies and the Natural Modes of
n-dof Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
6.2.1 Algebraic Properties of the Normal Modes .. . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.3 The Zero-input Response of Undamped n-dof Systems. . . . . . . . . . . . . 406
6.3.1 The Calculation of the Zero-input Response of
n-dof Systems Using the Classical Modal Method . . . . . . . . . 409
6.4 The Zero-state Response of n-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.4.1 The Calculation of the Zero-state Response of
n-dof Systems Using the Classical Modal Method . . . . . . . . . 414
6.5 The Total Response of n-dof Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.6 Analysis of n-dof Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.7 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

7 Simulation of n-dof Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.2 Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
7.3 The Discrete-Time Response of Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . 421
7.3.1 The Numerical Stability of the Simulation
Algorithm of Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
7.3.2 On the Choice of the Time Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
7.4 The Discrete-Time Response of Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
7.4.1 A Straightforward Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
7.4.2 An Approach Based on the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . 435
7.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
8 Vibration Analysis of Continuous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.2 Mathematical Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
8.2.1 Bars Under Axial Vibration.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
8.2.2 Bars Under Torsional Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
8.2.3 Strings Under Transverse Vibration .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
8.2.4 Beams Under Flexural Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
8.3 Natural Frequencies and Natural Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.3.1 Systems Governed by Second-Order PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.3.2 Systems Governed by Fourth-Order PDEs:
Beams Under Flexural Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
8.4 The Properties of the Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
8.4.1 Systems Governed by Second-Order PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
8.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
A Matrix Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
A.2 Preliminary Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
A.3 Calculation of Analytic Matrix Functions of a Matrix Argument . . 499
A.3.1 Special Case: 2×2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
A.3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
A.4 Use of Mohr’s Circle to Compute Analytic Matrix Functions .. . . . . 516
A.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
A.5 Shortcuts for Special Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
A.5.1 Example A.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
A.5.2 Example A.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
A.5.3 Example A.5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
A.5.4 Example A.5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
B The Laplace Transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
B.1.1 Properties of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
B.2 Time Response via the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
B.2.1 The Inverse Laplace Transform via
Partial-Fraction Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
B.2.2 The Final- and the Initial-Value Theorems.. . . . . . . . . . . . . . . . . 548
Reference.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551