فرمت فایل : WORD (قابل ویرایش)
تعداد صفحات:85
رساله دکتری رشته ریاضی محض (Ph.D)
عنوان : تشخیص‌پذیری و k- تشخیص‌پذیری بعضی از گروههای متناهی با استفاده از دو روش، مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه و تعداد سیلو زیرگروههای یک گروه با مرکز بدیهی
فهرست مطالب:
فصل اول تعاریف و قضیه‌های مقدماتی
1-1 مقدمه 1
1-2 تعاریف و مفاهیم مقدماتی 2
1-3 آشنایی با رده بندی گروههای ساده متناهی 4
فصل دوم تشخیص‌پذیری چند گروه ساده از طریق تعداد عناصر هم‌مرتبه یک گروه
2-1 مقدمه 12
2-2 تشخیص‌پذیری گروههای متناوب ساده و 14
2-3 تشخیص‌پذیری گروههای متقارن 20
2-4 تشخیص‌پذیری گروههای خطی 31
2-5 تشخیص‌پذیری گروههای ماتیو 39
2-6 تشخیص‌پذیری گروههای ساده پراکنده 39
فصل سوم تشخیص‌پذیری چند گروه ساده از طریق تعداد سیلو زیرگروههای یک گروه با مرکز بدیهی
3-1 مقدمه 53
3-2 تشخیص‌پذیری گروههای خطی 55
3-3 پیشنهادات برای ادامه کار 63
مراجع 64
چکیده
فرض کنید G یک گروه باشد اگر مجموعه تمام مرتبه های عناصرگروه G را با نماد نشان دهیم آنگاه مجموعه تمام عناصر هم مرتبه G را که با نماد nse(G) نمایش می دهند به صورت تعریف می کنند. در این رساله ابتدا نشان می‌دهیم اگر جائیکه S گروه متناوب ساده ، یا گروههای خطی طوری که یا گروههای متقارن طوری که و یا گروههای ساده ماتیو آنگاه G با S ایزومورف است. همچنین نشان می‌دهیم اگر G گروهی متناهی با مرکز بدیهی باشد طوری که تعداد سیلو زیرگروههای آن به ازای هر عدد اول با تعداد سیلو زیرگروههای گروهای خطی که درآن برابر باشد آنگاه G باید در شرط صدق کند.
پیش‌گفتار
پس از این که مهم‌ترین مسأله نظریه گروههای متناهی یعنی رده‌بندی گروههای ساده متناهی در سال 1979 به اتمام رسید، یکی از مسائل عمده مورد توجه دانشمندان این رشته تشخیص‌پذیری یک گروه با یک ویژگی مشخص بوده است. یک گروه دلخواه G را با خاصیت M تشخیص‌پذیر گوئیم، هر گاه گروه G تحت یکریختی تنها گروهی باشد که در خاصیت M صدق می‌کند. همچنین یک گروه دلخواه G را با خاصیت تشخیص‌پذیر گوئیم، هرگاه تحت یکریختی k تا گروه متمایز پیدا شود که در خاصیت M صدق کند. به عنوان مثال تشخیص‌پذیری با استفاده از گراف اول، تشخیص‌پذیری با استفاده از گراف جابجائی یا گراف ناجابجائی در گروه از این دست مسائل هستند.
یکی دیگر از روش‌های تشخیص‌پذیری یک گروه، تشخیص‌پذیری با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه یک گروه است که بطور ساده آن را با نماد nse نشان می‌دهند. این نوع تشخیص‌پذیری برای اولین بار توسط شی و همکارنشان در سال 2008 در مقاله‌ای تحت عنوان:
Characterization of Simple - groups
به صورت جدی مساله رده‌بندی گروه G با nse و مرتبه گروه را مورد مطالعه قرار دادند. در سال 2009 شن و همکارنشان مقاله دیگری تحت عنوان:
A new characterization of
ارائه کردند که در این مقاله آنها فقط با استفاده از nse توانستند برای گروههای ، و ثابت کنند که تشخیص‌پذیرند. آنها همچنین سوال زیر را مطرح کردند.
سوال: فرض کنید به طوری که آن گاه آیا می توان نتیجه گرفت ؟
در فصل دوم این رساله ما نشان داده‌ایم که گروههای متناوب ساده ، با این روش تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله تحت عنوان:
A new Charaterization of ,
در سال 2011 در مجله
Anale Stintifice ale universitatii Ovidius Constanta
موفق به دریافت پذیرش چاپ گردید.
در سال 2009 خسروی و همکارنشان در مقاله‌ای تحت عنوان:
A new Charaterization for some linear groups
نشان دادن که گروههای برای با استفاده از nse تشخیص‌پذیرند. آنها در مقاله خود سوال زیر را مطرح کردند.
سوال: فرض کنید G یک گروه باشد به طوری که جائیکه q توانی از یک عدد اول است. آیا گروه G با ایزومورف است؟
در ادامه فصل دوم این رساله نشان داده‌ایم که گروههای خطی برای با این روش تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله‌ای تحت عنوان:
A new Charaterization of for some q
تدوین و برای داوری به یکی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است. همچنین در مقاله‌ای دیگر تحت عنوان:
A new charaterization of symmetric group for some n
که برای داوری به یکی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده نشان داده‌ایم که گروههای متقارن برای با nse تشخیص‌پذیرند که نتایج حاصل از آن در فصل دوم این رساله آمده است. در ادامه فصل دوم نشان دادیم که گروههای ساده ماتیو هم با استفاده از تعداد عناصر هم مرتبه یک گروه تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله‌ای تحت عنوان:
A Charaterization of Matheiu groups by NSE
تدوین و برای داوری به یکی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است. در پایان فصل دوم نشان دادیم که همه گروههای ساده پراکنده با استفاده از nse ومرتبه تشخیص پذیرند که مقاله حاصل از آن تحت عنوان:
A Characterization of Sporadic Simple Groups by NSE and Order
در سال 2012 در مجله
Journal of Algebra and Its Applications
موفق به پذیرش چاپ کردید.
در فصل سوم این رساله روش دیگری برای تشخیص‌پذیری گروه ارائه کرده‌ایم که روش جدیدی برای تشخیص‌پذیری یک گروه است که تاکنون هیچ مقاله‌ای در این زمینه به چاپ نرسیده است. در این روش با استفاده از تعداد سیلو زیرگروههای یک گروه با مرکز بدیهی نشان می‌دهیم که بعضی از گروههای خطی تشخیص‌پذیر و یا تشخیص‌پذیرند. نتایج حاصل از این فصل را در قالب دو مقاله تدوین کرده‌ایم. در مقاله اول روی گروههای برای کار شده که مقاله حاصل از آن تحت عنوان:
A new charaterization of some linear groups
برای داروی به یکی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است، و در مقاله دوم روی گروههای برای کار شده که مقاله حاصل از آن تحت عنوان:
A Charaterization of some linear groups
در سال 2011 در مجله
Australian Journal of Basic and Applied Science
چاپ شده است.
فصل اول
تعاریف و قضیه‌های مقدماتی
1-1 مقدمه
این فصل را به بیان تعاریف اولیه که در سرتاسر رساله به کار خواهیم برد و همچنین بیان قضایای معروفی که از آنها استفاده خواهیم کرد، اختصاص می‌دهیم. قضایایی که بدون اثبات آورده شده‌اند، در مقابل هر یک از آنها مرجعی مناسب معرفی شده است تا خواننده در صورت نیاز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضیه را مشاهده کند.
1-2 تعریف و مفاهیم مقدماتی
تعریف: فرض کنید گروه G روی مجموعه X عمل کند و در این صورت مجموعه را پایدارساز x در G نامیده و با نماد یا نشان می‌دهیم.
تعریف: عمل G روی X را انتقالی می‌گوئیم هر گاه به ازای هر و از X عضوی از G مانند g باشد به طوری که .
تعریف: عمل G روی X را انتقالی است هر گاه به ازای هر دو گانه و که در آن و برای هر عضوی از G مانند g باشد به طوری که برای هر .
تعریف: عمل گروه G روی مجموعه X را نیمه‌منظم گوئیم هرگاه برای هر داشته باشیم
{1}=
قضیه 1-2-1 فرض کنید گروه G روی X به طور نیمه منظم عمل کند آنگاه مرتبه G مقسوم‌علیهی از مرتبه X است.
برهان. به [8] رجوع شود.
برای یک گروه دلخواه مانند G تعداد سیلو p-زیرگروههای آن را با نماد نمایش می دهیم.
قضیه 1-2-2 فرض کنید G یک گروه متناهی و N یک زیرگروه نرمال G باشد، آنگاه و مقسوم‌علیهی از است و همچنین داریم .
برهان. به [33] رجوع شود.
تعریف: فرض کنید n یک عدد صحیح باشد. در این صورت ، مجموعه تمام اعداد اولی است که n را می‌شمارد.
اگر G یک گروه متناهی باشد، را همان تعریف می‌کنیم.
قضیه 1-2-3 فرض کنید G یک گروه متناهی، فرد باشد همچنین فرض کنید P یک سیلو زیرگروه G و جائیکه . اگر P دوری نباشد، آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربی از است.
برهان. به [24] رجوع شود.
قضیه 1-2-4 فرض کنید G یک گروه متناهی . همچنین فرض کنید G دارای سری نرمال باشد. اگر و p مرتبه K را عاد نکند آنگاه نتایج زیر برقرار است:
i)
ii) یعنی ؛
iii) به عبارت دیگر داریم جائیکه t یک عدد صحیح مثبت است و .
برهان. به [27] رجوع شود.
تعریف: فرض کنید G یک گروه متناهی باشد و که در آن m و n دو عدد طبیعی متباین‌اند. هر زیرگروه G از مرتبه m را یک زیرگروه هال می‌نامند. به عبارت دیگر، زیرگروه H از G را یک زیر گروه هال گویند در صورتی که و نسبت به هم اول باشد.
همچنین اگر که ها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و در اینصورت H را یک هال زیر گروه G می‌نامند.
قضیه 1-2-5 فرض کنید G یک گروه متناهی حلپذیر و ، جائیکه و . همچنین فرض کنید و تعداد هال زیرگروههای G باشد، آنگاه است که به ازای هر در شرایط زیر صدق می‌کند:
i) برای یک ؛
ii) مرتبه یکی از فاکتورهای اصلی از سری اصلی گروه G را عاد می‌کند.
برهان. به [12] رجوع شود.
تعریف: گروه G را با گروه می‌نامیم هر گاه . اگر G یک گروه ساده و آن گاه G را یک گروه ساده می‌نامیم.
قضیه 1-2-6 فرض کنید G یک گروه ساده غیر آبلی باشد در این صورت .
برهان. بنا به قضیه برنساید هر گروه و هر گروه از مرتبه حلپذیرند، چون G غیرحلپذیر است پس .
۱- ۳ آشنایی با رده بندی گروههای ساده متناهی
گروههای ساده را به چهار نوع گروه رده بندی کرده اند که در ذیل به بیان این رده بندی می پردازیم:
قضیه 1-۳- ۱ (قضیة رده بندی گروههای سادة متناهی)
گروههای ساده آبلی که دقیقا عبارتند از که در آن یک عدد اول است،
گروههای متناوب برای ،
خانواده ای متنوع از گروهها از نوع لی ،
گروههای پراکنده که یک مجموعة ۲۶ عضوی از گروههای ساده است.
پایان نامه تشخیص‌پذیری و k- تشخیص‌پذیری بعضی از گروههای متناهی با استفاده از دو روش، مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه