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578 صفحه
Dynamic Response of Linear Mechanical Systems Modeling, Analysis and Simulation, 2011, Springer
مطالب
1 The Modeling of Single-dof Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 The Modeling Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 The Newton-Euler Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Constitutive Equations of Mechanical Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Springs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Dashpots .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Series and Parallel Arrays of Linear Springs . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4 Series and Parallel Arrays of Linear Dashpots . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Planar Motion Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Lagrange Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Energy Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.4 Potential Energy .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.5 Power Supplied to a System and Dissipation Function . . . . 29
1.6.6 The Seven Steps of the Modeling Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Hysteretic Damping .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.8 Coulomb Damping .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.9 Equilibrium States of Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.10 Linearization About Equilibrium States. Stability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.11 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Time Response of First- and Second-order Dynamical Systems . . . . . . . 85
2.1 Preamble .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2 The Zero-input Response of First-order LTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3 The Zero-input Response of Second-order LTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.1 Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.2 Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4 The Zero-State Response of LTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4.1 The Unit Impulse .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4.2 The Unit Doublet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4.3 The Unit Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.4.4 The Unit Ramp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4.5 The Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.4.6 The Convolution (Duhamel) Integral.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.5 Response to Abrupt and Impulsive Inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5.1 First-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.5.2 Second-order Undamped Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.5.3 Second-order Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.5.4 Superposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.6 The Total Time Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6.1 First-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6.2 Second-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.7 The Harmonic Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.7.1 The Unilateral Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.7.2 First-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.7.3 Second-order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.7.4 The Response to Constant and Linear Inputs . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.7.5 The Power Dissipated By a Damped
Second-order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.7.6 The Bode Plots of First- and Second-order Systems . . . . . . . 161
2.7.7 Applications of the Harmonic Response .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.7.8 Further Applications of Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.7.9 Derivation of zb(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2.8 The Periodic Response. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.8.1 Background on Fourier Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.8.2 The Computation of the Fourier Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . 189
2.8.3 The Periodic Response of First- and
Second-order LTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
2.9 The Time Response of Systems with Coulomb Friction . . . . . . . . . . . . 207
2.10 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3 Simulation of Single-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.1 Preamble .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.2 The Zero-Order Hold (ZOH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.3 First-Order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.4 Second-Order Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3.4.1 Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3.4.2 Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Reference.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4 Modeling of Multi-dof Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.2 The Derivation of the Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.3 Equilibrium States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
4.4 Linearization of the Governing Equations
About Equilibrium States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.5 Lagrange Equations of Linear Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.6 Systems with Rigid Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
4.7 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5 Vibration Analysis of Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.2 The Natural Frequencies and the Natural Modes
of Two-dof Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.2.1 Algebraic Properties of the Normal Modes .. . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.3 The Zero-Input Response of Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.3.1 Semidefinite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
5.3.2 Systems with a Positive-Definite FrequencyMatrix. . . . . . . . 333
5.3.3 The Beat Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.4 The Classical Modal Method .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.5 The Zero-State Response of Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
5.5.1 Semidefinite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.5.2 Definite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.6 The Total Response of Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.6.1 The Classical Modal Method Applied to the
Total Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
5.7 Damped Two-dof Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.7.1 Total Response of Damped Two-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . 375
5.8 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Reference.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
6 Vibration Analysis of n-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6.2 The Natural Frequencies and the Natural Modes of
n-dof Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
6.2.1 Algebraic Properties of the Normal Modes .. . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.3 The Zero-input Response of Undamped n-dof Systems. . . . . . . . . . . . . 406
6.3.1 The Calculation of the Zero-input Response of
n-dof Systems Using the Classical Modal Method . . . . . . . . . 409
6.4 The Zero-state Response of n-dof Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.4.1 The Calculation of the Zero-state Response of
n-dof Systems Using the Classical Modal Method . . . . . . . . . 414
6.5 The Total Response of n-dof Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.6 Analysis of n-dof Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.7 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
7 Simulation of n-dof Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.2 Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
7.3 The Discrete-Time Response of Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . 421
7.3.1 The Numerical Stability of the Simulation
Algorithm of Undamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
7.3.2 On the Choice of the Time Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
7.4 The Discrete-Time Response of Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
7.4.1 A Straightforward Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
7.4.2 An Approach Based on the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . 435
7.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
8 Vibration Analysis of Continuous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.2 Mathematical Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
8.2.1 Bars Under Axial Vibration.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
8.2.2 Bars Under Torsional Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
8.2.3 Strings Under Transverse Vibration .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
8.2.4 Beams Under Flexural Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
8.3 Natural Frequencies and Natural Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.3.1 Systems Governed by Second-Order PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.3.2 Systems Governed by Fourth-Order PDEs:
Beams Under Flexural Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
8.4 The Properties of the Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
8.4.1 Systems Governed by Second-Order PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
8.5 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
A Matrix Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
A.2 Preliminary Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
A.3 Calculation of Analytic Matrix Functions of a Matrix Argument . . 499
A.3.1 Special Case: 2×2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
A.3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
A.4 Use of Mohr’s Circle to Compute Analytic Matrix Functions .. . . . . 516
A.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
A.5 Shortcuts for Special Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
A.5.1 Example A.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
A.5.2 Example A.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
A.5.3 Example A.5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
A.5.4 Example A.5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
B The Laplace Transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
B.1.1 Properties of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
B.2 Time Response via the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
B.2.1 The Inverse Laplace Transform via
Partial-Fraction Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
B.2.2 The Final- and the Initial-Value Theorems.. . . . . . . . . . . . . . . . . 548
Reference.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
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Dynamic Response of Linear Mechanical Systems Modeling, Analysis and Simulation, 2011, Springer 
